Pt很低即将掉段时，应该故意掉段吗

发表于 2022-09-28

在天凤，段位越高，升段需要到达的pt越高。每一段的原点是升段需要到达的pt的一半，因此原点也随段位的升高而上升。有时会出现只剩数十pt的情况，如果直接打回原点，需要的pt甚至比故意掉段还多。例如七段原点是1400，升段目标为2800，八段原点是1600，升段目标为3200。在八段100pt时，直接打回八段原点需要1500pt，而故意掉回七段、再升到八段却只要1400pt。在雀魂，这种现象更加夸张。圣1是2000/4000，圣2是3000/6000，而圣3是4500/9000，每段的pt比前一段足足多出了一半。

乍看起来，在pt所剩无几、直接打回原点所需pt比故意掉段再升段所需pt还多时，比起正常打牌期待直接回原点，故意掉段会更有利。回到当前段位原点所需的pt变少了，而且末位的惩罚也更小，上分更容易。真是这样的吗？如果是，那么故意掉段有利的pt阈值是多少呢？

首先需要明确“有利”的判断标准。现实中我们遇到的一个问题是：从某个段位某个pt（例如七段1400pt）开始，到升到某个目标段位（例如天凤位）为止，对局数越少越好。一个判断标准是，上述对局数的期望值越低越好；另一个判断标准是，在一定的对局数（例如10000个半庄）内能升到目标段位的概率越高越好，毕竟人的时间是有限的。前者只涉及期望值，计算比较方便；而后者涉及对局数的具体分布，计算比较困难，适合用模拟的方法估计。本文以对局数的期望值来衡量是否有利。

要计算对局数的期望值，需要做出一些限制和假设。限制只打可能的最高等级的场次，只打东南战，假定每一次对局均为独立的，一场对局的结果不会影响其他对局，且对于每一次对局，获得各个顺位的概率是固定不变的。例如，某玩家在雀圣时只打三王南，每次对局都有0.35的概率吃1，0.33的概率吃2，0.32的概率吃3。

考虑“从某段某pt开始不断对局，直到升段为止”这一场景。计算最后升段时的对局数期望。

令 $origin_g$ 等于 $g$ 段原点，$goal_g$ 等于从 $g$ 段升到 $(g+1)$ 段需要到达的pt，$n(g,pt)$ 等于从 $g$ 段 $pt$ pt开始直到升到 $(g+1)$ 段时的对局数期望。

为了方便计算，pt变动只和顺位有关，和持有点数无关。令 $m$ 位率为 $p_m$，在 $g$ 段时 $m$ 位pt变动为 $c_{m,g}$，$c_{m,g}$为正值表示pt增加，为负值表示pt减少。$m\in \{1,2,3\}$，$p_m$ 和 $c_{m,g}$ 已知。

先考虑边界情况。

若 $pt \geq goal_g$，则已经升段，不需要再对局了，因此 $n(g,pt) = 0$。

若 $pt < 0$，则已经降段，因此对局数期望等于“从 $(g-1)$ 段原点回到 $g$ 段原点的对局数期望”加上“从 $g$ 段原点开始升到 $(g+1)$ 段的对局数期望”，即

\[n(g,pt) = n(g-1,origin_{g-1}) + n(g,origin_g)\]

然后考虑中间情况（$0\leq pt < goal_g$）。进行一场对局后，有 $p_1$ 概率吃1，吃1后，pt增加$c_{1,g}$，因此升段对局数期望变成 $n(g, pt+c_{1,g})$。吃2、吃3的情况同理。另外，无论这场对局顺位如何，对局数都增加了1。所以我们有：

\[n(g,pt)= 1 + \sum_{m = 1}^3 p_m \cdot n(g,pt+c_{m,g} )\] 现在加上“如果当前pt小于某个阈值，则故意掉段”，令这个阈值为 t。若$0≤pt<t$，则故意降段，不计故意降段的挂机对局数（挂机期间无需花费精力），则和之前 $pt<0$ 的情况是一样的。$pt\geq goal$ 的情况不变。“中间情况”的 $pt$ 取值范围变成了 $t\leq pt<goal$。总的来说，和无故意掉段相比，只是 $pt$ 分段的点发生了变化。即： \[n(g,pt)=\begin{cases} 0 \quad &pt\geq goal_g, \\ 1 + \sum_{m = 1}^3 p_m \cdot n(g,pt+c_{m,g} ) & t \leq pt<goal_g,\\ n(g-1,origin_{g-1}) + n(g,origin_g) \quad &pt<t, \end{cases}\] “无故意掉段”可以看作是 $t=0$ 的特殊情况。

这是一个高阶差分方程，可以将$goal_g$, $origin_g$, $p_m$, $c_{m,g}$的具体数值代入，用数值方法（迭代法）解，将 $n(g,pt)$ 用含有 $n(g-1,origin_{g-1})$ 的代数式来表示，即将“升段的对局数期望”用“从更低一段原点回到当前段位的对局数期望”来表示。这样，“每一段从原点升段的对局数期望”和“之前一段从原点升段的对局数期望”就形成了递推关系。

例某人王座1、2、3位率分别为0.35、0.35、0.3，吃1增加277pt，吃2 pt不变，圣1时吃3扣减277pt，当前段位每高一段，多扣25pt。求 (a) 无故意掉段，(b) 圣3时小于500pt时掉段，(c) 圣3时小于1000pt时故意掉段，(d) 圣3时小于1500pt时故意掉段这三种策略中，哪个从圣3原点升魂天对局数期望最小。

解先计算从圣1原点升圣2的对局数期望（无故意掉段）。

令

$g=圣1,pt=2000,t=0,$ $goal_g=4000,origin_g=2000,$

$p_1=0.35,p_2=0.35,p_3=0.3,$ $c_{1,g}=277,c_{2,g}=0,c_{3,g}=-277, $

则

\[n(圣1,pt)=\begin{cases} 0 \quad &pt\geq 4000, \\ 1 + 0.35 \cdot n(圣1,pt+277 ) + 0.35 \cdot n(圣1, pt) + 0.3 \cdot n(圣1, pt-277) & 0 \leq pt<4000,\\ n(豪3,1800) + n(圣1,2000) \quad &pt<0, \end{cases}\]

解得 \[n(圣1,2000)=113.383+0.29136n(豪3,1800)\] 同理可得圣2原点升圣3、圣3原点升魂天的对局数期望： \[n(圣2,3000) =255.764+0.47915n(圣1,2000)\] \[n(圣3,4500) =798.064+1.19380n(圣2,3000)\] 依次代入可得 \[n(圣3,4500) =1168.25+0.16667n(豪3,1800)\] 若在圣3小于500pt时故意掉段，则 \[\begin{aligned}n’(圣3,4500)&=752.613+1.32526n(圣2,3000)\\ &=1163.56+0.18501n(豪3,1800) \end{aligned}\]

当 $n(豪3,1800) < 256$ 时，$n’<n$，即若豪3回圣对局数期望小于256，圣3时小于500pt故意掉段有利，反之不故意掉段有利。

若在圣3小于1000pt时故意掉段，则 \[\begin{aligned}n’’(圣3,4500) &= 707.402+1.49309n(圣2,3000) \\ &= 1170.40+0.20844n(豪3,1800) \end{aligned}\]

常数项及一次项均分别大于 $n$ 的常数项及一次项，因此无论豪3回圣对局数期望如何，圣3时小于1000pt故意掉段均不利。

若在圣3小于1500pt时故意掉段，则 \[\begin{aligned}n’’'(圣3,4500) &= 662.448+1.71470n(圣2,3000) \\ &= 1194.16+0.23938n(豪3,1800) \end{aligned}\]

常数项及一次项均分别大于 $n$ 的常数项及一次项，因此无论豪3回圣对局数期望如何，圣3时小于1500pt故意掉段均不利。

综上所述，若豪3回圣对局数期望小于256，则采用策略 (b) 圣3时小于500pt故意掉段，否则采用策略 (a) 无故意掉段。

当豪3回圣对局数期望为200时，各策略期望对局数如下表：

策略	期望对局数	与策略 (a) 的差
(a) 无故意掉段	1201.58	0
(b) 圣3 <500pt	1200.56	-1.02
(c) 圣3 <1000pt	1212.09	+10.51
(d) 圣3 <1500pt	1242.04	+40.46

由这个例子可以看出，在pt所剩无几时，故意掉段并非一定有利。而且故意掉段的好处有限，只有少打一两个半庄的程度而已。

另外，一个人的1、2、3位率会对结果产生很大影响。大致上是一个人安定段位越高，越倾向于在低pt时故意掉段。但是，如果一个人安定段位很高的话，基本就直升魂天了，也很难出现低pt的情况吧。